Dos teoremas con sus demostraciones formales, cinco simulaciones interactivas, y dos aplicaciones a microestructura de mercados y al modelo de Merton de saltos.
La superposición fusiona procesos Poisson independientes en un único proceso Poisson. El adelgazamiento descompone un proceso Poisson en sub-procesos independientes mediante clasificación aleatoria. Ambos resultados, sorprendentemente fuertes, se demuestran con argumentos clásicos de funciones generadoras de momentos y probabilidad condicional.
Una sucesion de llegadas en tiempo continuo definida por dos propiedades: la distribucion Poisson de los conteos por intervalo, y la independencia de incrementos en intervalos disjuntos.
Una sucesion de llegadas en tiempo continuo $\{N_t,\, t > 0\}$ es un proceso Poisson con parametro $\lambda > 0$ si satisface (a) y (b).
El numero de llegadas en un intervalo de longitud $t$ se distribuye $\text{Poi}(\lambda t)$.
El numero de llegadas en intervalos disjuntos son independientes.
Los tiempos entre llegadas $T_n$ son i.i.d. exponenciales: $T_n \sim \text{Exp}(\lambda)$. Esta caracterizacion es la base de toda simulacion.
El proceso Poisson tiene dos representaciones equivalentes: como una sucesion de tiempos de llegada $S_1, S_2, S_3, \ldots$ (puntos en la recta), o como la funcion de conteo $N_t$ que registra cuantas llegadas han ocurrido hasta el tiempo $t$ (escalera creciente). Ajusta $\lambda$ y observa como la pendiente promedio de $N_t$ se ajusta. La linea punteada $E[N_t] = \lambda t$ se mantiene como referencia teorica.
Una sucesion de llegadas en tiempo continuo $\{N_t,\, t > 0\}$ es un proceso Poisson con parametro $\lambda > 0$ si:
(a) El numero de llegadas en un intervalo de longitud $t$ se distribuye $\text{Poi}(\lambda t)$.
(b) El numero de llegadas en intervalos disjuntos son independientes.
La convencion es que el tiempo inicie en $t=0$, en cuyo caso el proceso Poisson ocurre en $(0, \infty)$. Equivalentemente, los tiempos entre llegadas son i.i.d. $\text{Exp}(\lambda)$.
Si fusionas $k$ procesos Poisson independientes con tasas $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$, obtienes un nuevo proceso Poisson cuya tasa es la suma. La estructura Poissoniana se preserva bajo unión de flujos independientes, un resultado que se demuestra elegantemente con funciones generadoras de momentos.
Sean $\{N_t^1,\, t > 0\}$ y $\{N_t^2,\, t > 0\}$ procesos Poisson independientes con parametros $\lambda_1$ y $\lambda_2$, respectivamente. Entonces el proceso combinado
$$\{N_t = N_t^1 + N_t^2,\, t > 0\}$$es un proceso Poisson con parametro $\lambda_1 + \lambda_2$.
Demostracion. Demostraremos que $N_t = N_t^1 + N_t^2$ tiene la distribucion correcta usando funciones generadoras de momentos. Para $\theta \in \mathbb{R}$,
$$M_{N_t}(\theta) = E[e^{\theta N_t}] = E[e^{\theta(N_t^1 + N_t^2)}] = E[e^{\theta N_t^1}\, e^{\theta N_t^2}].$$Por independencia entre $N_t^1$ y $N_t^2$, la esperanza del producto es el producto de las esperanzas:
$$= E[e^{\theta N_t^1}] \cdot E[e^{\theta N_t^2}] = M_{N_t^1}(\theta) \cdot M_{N_t^2}(\theta).$$La MGF de una variable Poisson($\mu$) es $\exp(\mu(e^\theta - 1))$. Como $N_t^i \sim \text{Poi}(\lambda_i t)$,
$$M_{N_t}(\theta) = e^{\lambda_1 t (e^\theta - 1)} \cdot e^{\lambda_2 t (e^\theta - 1)} = e^{(\lambda_1 + \lambda_2)t(e^\theta - 1)},$$que es exactamente la MGF de Poi$((\lambda_1 + \lambda_2)t)$. Por unicidad de la MGF, $N_t \sim \text{Poi}((\lambda_1 + \lambda_2)t)$. La independencia de los incrementos en intervalos disjuntos se hereda directamente de la independencia de los incrementos de $N_t^1$ y $N_t^2$ por separado.
Una pregunta natural sobre el proceso combinado: cuando observamos un evento, con que probabilidad proviene del proceso 1 en lugar del proceso 2? La respuesta es $p = \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$, y esa observacion da pie a la operacion inversa de la superposicion: tomar un proceso Poisson, clasificar cada llegada al azar, y obtener dos sub-procesos. Lo sorprendente es que a pesar de provenir del mismo proceso fuente los sub-procesos terminan siendo independientes entre si.
Sea $\{N_t,\, t > 0\}$ un proceso Poisson con parametro $\lambda$, y se clasifica cada llegada como un evento tipo 1 con probabilidad $p$ y como un evento tipo 2 con probabilidad $1-p$ de manera independiente. Entonces:
(i) Los eventos tipo 1 forman un proceso Poisson con parametro $\lambda p$.
(ii) Los eventos tipo 2 forman un proceso Poisson con parametro $\lambda(1-p)$.
(iii) Estos dos procesos son independientes.
Demostracion. Sean $N_t^1$ y $N_t^2$ los conteos de llegadas tipo 1 y tipo 2 en $(0, t]$. Calculamos la distribucion conjunta y obtenemos los marginales y la independencia simultaneamente. Condicionando en $N_t = j+k$,
$$P(N_t^1 = j,\, N_t^2 = k) = P(N_t^1 = j,\, N_t^2 = k \mid N_t = j+k) \cdot P(N_t = j+k).$$Dado el evento $\{N_t = j+k\}$, el numero de llegadas tipo 1 sigue una distribucion binomial $\text{Bin}(j+k, p)$:
$$P(N_t^1=j,\, N_t^2=k \mid N_t=j+k) = \binom{j+k}{j} p^j (1-p)^k.$$El segundo factor es Poisson:
$$P(N_t = j+k) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{j+k}}{(j+k)!}.$$Multiplicando y simplificando $(j+k)!$:
$$P(N_t^1=j,\, N_t^2=k) = \frac{p^j (1-p)^k (\lambda t)^{j+k}}{j!\, k!} \cdot e^{-\lambda t}.$$Reescribiendo $e^{-\lambda t} = e^{-\lambda p t} \cdot e^{-\lambda(1-p)t}$ y agrupando potencias por tipo,
$$= \underbrace{\frac{(\lambda p t)^j}{j!} e^{-\lambda p t}}_{\text{Poi}(\lambda p t)} \cdot \underbrace{\frac{(\lambda(1-p)t)^k}{k!} e^{-\lambda(1-p)t}}_{\text{Poi}(\lambda(1-p)t)}.$$La conjunta se factoriza como producto de dos Poisson, lo que simultaneamente identifica los marginales y demuestra la independencia.
Lo que la superposición une, el adelgazamiento separa. Lo que el adelgazamiento separa, la superposición une. Ambas preservan la estructura Poissoniana, lo que las hace dualmente naturales.
Toma flujos independientes y los fusiona en un proceso único.
Toma un flujo único y lo descompone en sub-flujos independientes.
Un modelo estilizado donde las órdenes de compra (bids) y de venta (asks) llegan al libro de órdenes como dos procesos Poisson independientes con tasas $\lambda_{\text{bid}}$ y $\lambda_{\text{ask}}$. Por superposición, el flujo total es Poisson($\lambda_{\text{bid}} + \lambda_{\text{ask}}$). Por adelgazamiento, conocido el flujo total, podemos clasificar cada orden con probabilidad $p = \lambda_{\text{bid}}/(\lambda_{\text{bid}} + \lambda_{\text{ask}})$ y recuperar los flujos individuales.
El precio mid evoluciona reaccionando al flujo: cada bid lo empuja hacia arriba, cada ask hacia abajo. El order imbalance $(N_{\text{bid}} - N_{\text{ask}})/(N_{\text{bid}} + N_{\text{ask}})$ mide en tiempo real qué lado del mercado domina.
El modelo de Merton (1976) extiende el de Black–Scholes incorporando saltos discretos en la trayectoria del precio:
$$\frac{dS_t}{S_{t^-}} = (\mu - \lambda \bar{k})\, dt + \sigma\, dW_t + dJ_t,$$
donde $J_t = \sum_{i=1}^{N(t)} (Y_i - 1)$ es un proceso compuesto de Poisson, $N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda)$ cuenta los saltos, y $\ln Y_i \sim \mathcal{N}(\mu_J, \sigma_J^2)$ son los tamaños relativos.
La conexión con adelgazamiento es directa: clasificando cada salto por su signo, positivo con probabilidad $p = \Phi(\mu_J / \sigma_J)$ o negativo con probabilidad $1 - p$, obtenemos dos sub-procesos $N^+(t) \sim \text{Poisson}(\lambda p)$ y $N^-(t) \sim \text{Poisson}(\lambda(1-p))$, independientes.
7 secciones · 20 celdas · 10+ figuras · simulaciones Monte Carlo. Demostraciones formales, visualizacion de los procesos, dualidad, y dos aplicaciones a finanzas: order book y modelo de Merton.